Question

5．设函数f（x）=lnx，$\begin{array}{l}{\;}{g（x）=（{2-a}）（{x-1}）-2f（x）}\end{array}$．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意$x∈（{0，\frac{1}{2}}），g（x）＞0$恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得出；
（2）对于恒成立的问题，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，g（x）=x-1-2lnx，
∴g′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
综上，g（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2），
（2）由题意知：（2-a）（x-1）-2lnx＞0，在$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$上恒成立，
即（a-2）（1-x）＞2lnx在区间$（{0，\frac{1}{2}}）$上恒成立，
又1-x＞0，
∴$a＞2+\frac{2lnx}{1-x}$在区间$（{0，\frac{1}{2}}）$上恒成立，
设$h（x）=2+\frac{2lnx}{1-x}$，$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，
则$h'（x）=\frac{{\frac{2}{x}（{1-x}）+2lnx}}{{{{（{1-x}）}^2}}}=\frac{{\frac{2}{x}-2+2lnx}}{{{{（{1-x}）}^2}}}$
又令$m（x）=\frac{2}{x}-2+2lnx，x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，
则$m'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2+2x}{x^2}$
当$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，
∴$m（x）＞m（{\frac{1}{2}}）=4-2-2ln2＞0$，
即h'（x）＞0在$（{0，\frac{1}{2}}）$恒成立，
所以h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$单调递增，
∴$h（x）＜h（{\frac{1}{2}}）=2+\frac{{2ln\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=2-4ln2$，
故a≥2-4ln2，
所以实数a的最小值为2-4ln2．

点评 本题主要考查了函数导数与单调性，主要是利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及分类讨论思想，属于中档题．