Question

【题目】如图为半圆的直径，点是半圆弧上的两点， ， ．曲线经过点，且曲线上任意点满足： 为定值.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求面积最大时的直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】试题分析：（1）先求P点坐标,再根据两点间距离公式求,最后根据椭圆定义确定a,c,b（2）先设，与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式求EF，根据点到直线距离公式求高，再根据三角形面积公式得面积关于k的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，根据等号成立条件确定直线的方程

试题解析：（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中，.

，

，，曲线的方程为；

（Ⅱ）设过点的直线的斜率为，则.

由得，

，

，

又点到直线的距离， 的面积 .

令，则.

当且仅当，即时，面积取最大值.

此时直线的方程为或．