题目内容

【题目】已知定义在R上的函数fx)满足:对任意都有,且当x>0时,

1)求的值,并证明为奇函数;

2)判断函数的单调性,并证明;

3)若对任意恒成立,求实数的取值范围.

【答案】1;证明详见解析(2是增函数,证明详见解析;(3.

【解析】

1)用赋值法,结合奇函数的定义进行求解证明即可;

2)运用单调性的定义,结合已知进行判断证明即可;

3)运用函数的单调性和奇函数的性质,结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可.

1 ,得

所以

证明: ,得

所以

所以为奇函数;

2)设x2>x1,所以.

因为当x>0时,,所以

是增函数;

3 由题知:

是定义在上的增函数,

所以 对任意 恒成立,

所以

所以

,则

所以

时,

所以

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