题目内容
【题目】已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意都有,且当x>0时,.
(1)求的值,并证明为奇函数;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);证明详见解析(2)是增函数,证明详见解析;(3).
【解析】
(1)用赋值法,结合奇函数的定义进行求解证明即可;
(2)运用单调性的定义,结合已知进行判断证明即可;
(3)运用函数的单调性和奇函数的性质,结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可.
(1) 令 ,得 ,
所以 .
证明:令 ,得 ,
所以,
所以为奇函数;
(2)设x2>x1,所以.
由,
因为当x>0时,,所以,
∴是增函数;
(3) 由题知:,
又 是定义在上的增函数,
所以 对任意 恒成立,
所以 ,
所以 ,
令 ,,则 ,
所以 ,
当 时,,
所以 .