题目内容
(本题满分13分)已知平面上的动点及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是,,且·。(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知直线与曲线C交于M,N两点,且直线BM,BN的斜率都存在并满足·,求证:直线过原点。
(2)已知直线与曲线C交于M,N两点,且直线BM,BN的斜率都存在并满足·,求证:直线过原点。
(Ⅰ)(≠2) (Ⅱ) 见解析
(1)由题意,·,(≠2),(2′)
即.所求P点轨迹C的方程为(≠2)(6′)
(2)设,,联立方程得,.(8′)所以,
所以.(10′)
又·即·.所以.
代入得,(11′)
所以即或.(13′)
当时,直线恒过原点;当时直线恒过(2,0)但不符合题意。
所以,直线恒过原点。(14′)
即.所求P点轨迹C的方程为(≠2)(6′)
(2)设,,联立方程得,.(8′)所以,
所以.(10′)
又·即·.所以.
代入得,(11′)
所以即或.(13′)
当时,直线恒过原点;当时直线恒过(2,0)但不符合题意。
所以,直线恒过原点。(14′)
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