题目内容
四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形的面积的最小值和最大值.
四边形面积的最大值为,最小值为
由条件知和是椭圆的两条弦,相交于焦点,且,直线中至少有一条存在斜率,不妨设的斜率为.又过点,故方程为.将此式代入椭圆方程得.
设两点的坐标分别为,
则,.
从而,
亦即.
(Ⅰ)当时,的斜率为,同上可推得.
故四边形面积.
令,得.
因为,当时,,且是以为自变量的增函数,所以.
(Ⅱ)当时,为椭圆的长轴,,,
.
综合(Ⅰ),(Ⅱ)知,四边形面积的最大值为,最小值为.
设两点的坐标分别为,
则,.
从而,
亦即.
(Ⅰ)当时,的斜率为,同上可推得.
故四边形面积.
令,得.
因为,当时,,且是以为自变量的增函数,所以.
(Ⅱ)当时,为椭圆的长轴,,,
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综合(Ⅰ),(Ⅱ)知,四边形面积的最大值为,最小值为.
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