题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若平面平面
,且直线
与平面
所成角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取中点
,连结
,
,则
,由线面垂直的判定定理可得,
平面
,由线面垂直的性质即可得证;
(Ⅱ)由平面平面
及
可得,
,从而
,设
,则
,易证
两两互相垂直,建立空间直角坐标系
如图,利用法向量求出二面角
的余弦值即可.
(Ⅰ)
证明:如图:取中点
,连结
,
,
,
,
,
,
为正三角形,
,
,
由线面垂直的判定定理知,平面
,
又平面
,
.
(Ⅱ)因为,
所以
为等边三角形,
所以,因为平面
平面
,
由面面垂直的性质知,平面
,
所以即为直线
与平面
所成角,
即,即
,
设,则
,
,
由平面
知,
两两互相垂直,
建立空间直角坐标系如图所示:
则,0,
,
,
,0,
,
所以,
,
,
,0,
,
设平面的一个法向量为
,
则,令
,则
,
所以平面的一个法向量为
,
因为平面的法向量为
,0,
,
所以,
二面角
的平面角为钝角,
二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成.该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.
(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”?
赞成 | 不赞成 | 合计 | |
城镇居民 | |||
农村居民 | |||
合计 |
(2)利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动,从中选派2名家长发言,求恰好有1名城镇居民的概率.
附:,
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |