题目内容
【题目】如图,关于正方体,有下列四个命题:
①与平面
所成角为45°;
②三棱锥与三棱锥
的体积比为
;
③存在唯一平面.使
平面
且
截此正方体所得截面为正六边形;
④过作平面
,使得棱
、
,
在平面
上的正投影的长度相等.则这样的平面
有且仅有一个.
上述四个命题中,正确命题的序号为________.
【答案】①②③.
【解析】
根据线面角的求解方法,三棱锥体积计算公式,正方体截面的性质,以及投影的相关知识,对选项进行逐一分析即可.
对①:过作
垂直于
,垂足为
,如下图所示:
因为是正方体,
容易知平面
,且
平面
,故可得
,
又因为,故
平面
,故
即为所求线面角.
容易知为等腰直角三角形,故
.
即与平面
所成角为45°.故①正确;
对②:设正方体棱长为1,
故可得;
而棱锥的体积可以理解为
正方体的体积减去4个体积都和相等的三棱锥的体积,
故.
故棱锥与三棱锥
的体积比为
,则②正确;
对③:根据正方体截面的性质,当截面为六边形时,
当且仅当为各点所在棱的中点时,截面为正六边形,如下图所示:
其它情况下,无法保证截面六边形的棱长都相等,
故存在唯一平面.使
平面
且
截此正方体所得截面为正六边形,
则③正确;
对④:若棱在平面
的同侧,则
为过点
且与平面
平行的平面;
若棱中有一条棱与另外两条棱分别在平面
的异侧,则这样的平面有3个;
故满足题意的平面有4个.
故④错误.
综上所述:正确的有①②③.
故答案为:①②③.
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