题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
是正方形,
是
中点,点
在
上,且
.
(1)证明平面
;
(2)若,求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2).
【解析】
(1)根据平面
,可得
,再证
,即可由线线垂直推证线面垂直;
(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求得两个平面的法向量,再求出夹角的余弦,转化为正弦值即可.
(1)因为平面
,
平面
,故可得
;
设底面正方形的边长为4,故可得,
,
,
故在中,满足
,故可得
;
又平面
,且
,
则平面
,即证.
(2)因为平面
,
平面
,故可得
,
又底面为正方形,故可得
,
故以为坐标原点,以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系如下图所示:
设,故可得
设平面的法向量为
,
则,则
取,则
.
不妨取平面的法向量
.
则.
设平面与平面
所成二面角的平面为
,
则.
即平面与平面
所成二面角的正弦值为
.
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