题目内容
【题目】已知直线与抛物线
交于不同的两点
,
为抛物线
的焦点,
为坐标原点,
是
的重心,直线
恒过点
.
(1)若,求直线
斜率的取值范围;
(2)若是半椭圆
上的动点,直线
与抛物线
交于不同的两点
,
.当
时,求△
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设,
,
,联立方程解得
,
,计算得到答案.
(2)计算得到,
,设
,
,求得最大值,设
,求导得最小值得到答案.
(1)设,
,
,
直线与抛物线
联立:
,
所以,
,
由,
得直线
斜率
,
因为,所以
.
(2)直线斜率
,由
得
.
设直线(其中
),
,
,
,
直线与抛物线
联立:
.
所以,
设为点
到直线
的距离,
的面积记为
.
由题知,故令
,
.
,当
时,
取最大值
.
,设
,
则.
时,
,
单调递减;
时
,
单调递增.
所以,即
时,
取最小值
.
所以面积的取值范围是
.
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