题目内容
【题目】已知实数,函数
,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若是函数
的极值点,曲线
在点
,
处的切线分别为
,且
在
轴上的截距分别为
.若
,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增;(2)
.
【解析】
(1)求导后得;分别在
和
两种情况下,根据
的符号可确定
的单调性;
(2)由极值点定义可构造方程求得,得到
和
;根据导数的几何意义可求得在
处的切线方程,进而求得
;由
可求得
的关系,同时确定
的取值范围;将
化为
,令
,
,利用导数可求得
的单调性,进而求得
的值域即为
的范围.
(1).
,
,
.
①当,即
时,
,
在
上单调递减;
②当,即
时,
当时,
;当
时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述:当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)是
的极值点,
,即
,
解得:或
(舍),此时
,
.
方程为:
,
令,得:
;同理可得:
.
,
,整理得:
,
,
又,则
,解得:
,
.
令,则
,
设,
,
在
上单调递增,又
,
,
,
即的取值范围为
.
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