Question

9．M、N分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆上异于M、N于点P满足k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通过已知条件可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$、$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，计算即得结论．

解答 解：∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是椭圆：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵M、N分别是椭圆的左、右顶点，k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，
∴a²=4b²，c²=3b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆离心率的求法，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意解题方法的积累，属于中档题．