Question

17．从椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F₂，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 依题意，可求得点P的坐标P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），由AB∥OP⇒k_AB=k_OP⇒b=c，从而可得答案．

解答 解：依题意，设P（c，y₀）（y₀＞0），
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴k_AB=k_OP，即$\frac{b}{-a}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}$，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{2{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题