Question

2．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A-C=90°，a+c=$\sqrt{2}$b，求cosC．

Answer 1

分析 由A-C=90°，表示出A，进而表示出B，利用正弦定理化简已知等式，把表示出的A代入并利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（C+45°）=$\frac{1}{2}$，确定出C的度数，即可求出cosC的值．

解答 解：由A-C=90°，得A=C+90°，
∴B=π-（A+C）=90°-2C（0°＜C＜45°），
把a+c=$\sqrt{2}$b，利用正弦定理化简得：sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB，
∴sin（C+90°）+sinC=$\sqrt{2}$sin（90°-2C），
即cosC+sinC=$\sqrt{2}$coc2C=$\sqrt{2}$（cos2C-sin2C）=$\sqrt{2}$（cosC+sinC）（cosC-sinC），
∵cosC+sinC≠0，
∴cosC-sinC=$\sqrt{2}$cos（C+45°）=$\sqrt{2}$，即cos（C+45°）=$\frac{1}{2}$，
∴C+45°=60°，
∴C=15°，
则cosC=cos15°=cos（45°-30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．