题目内容
【题目】如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 .M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.
【答案】
(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ
∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF= AD
∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM,且OP= DM,结合M为AD中点得:OP∥AD且OP=
AD
∴OP∥QF且OP=QF,可得四边形OPQF是平行四边形
∴PQ∥OF
∵PQ平面BCD且OF平面BCD,∴PQ∥平面BCD;
(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH
∵AD⊥平面BCD,CG平面BCD,∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD,结合BM平面ABD,得CG⊥BM
∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH
因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°
设∠BDC=θ,可得
Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2 cosθ,CG=CDsinθ=2
sinθcosθ,BG=BCsinθ=2
sin2θ
Rt△BMD中,HG= =
;Rt△CHG中,tan∠CHG=
=
∴tanθ= ,可得θ=60°,即∠BDC=60°
【解析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形,从而PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出PQ∥平面BCD;(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH.根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°.设∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式,最后在Rt△CHG中,根据正切的定义得出tan∠CHG= =
,从而得到tanθ=
,由此可得∠BDC.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能得出正确答案.
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【题目】某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如下图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为,求
的分布列和数学期望;
(II)根据频率分布直方图填写下面2 x2列联表,并判断是否有95%的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
附: