Question

【题目】已知函数f（x）=x2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞），

求导数可得f′（x）=2xlnx+x2 =2xlnx+x=x（2lnx+1），

令f′（x）=0，可解得x= ，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0， ）		（ ，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）

（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），

由（1）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0，

故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；

（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，

从而 = = = = ，其中u=lns，

要使 成立，只需 ，

即2＜ ，即2＜2+ ，

只需 ，变形可得只需0＜lnu＜ ，

当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，

所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，

另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，F′（u）= ，

令F′（u）=0，可解得u=2，

当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，

故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，

故有F（u）=lnu﹣ ＜0，即lnu＜ ，

综上可证：当t＞e2时，有 成立．

【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x= ，由导数在（0， ），和（ ，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（3）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜ ，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键．