Question

【题目】对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={ |m∈In ， k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于集合P7，有n=7．

当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，

当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=4时，Pn={ |m∈In，k∈In}=Pn={ ，1， ，2， ，3， }中有3个数（1，2，3）

与k=1时Pn中的数重复，

当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46

（2）解：先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，

Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn．

不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，

但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．

再证P14满足要求．当k=1时，P14={ |m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．

事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，

则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．

当k=4时，集合{ |m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{ ， ， ，…， }，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A2={ ， ， ， }，B2={ ， ， }．

当k=9时，集合{ |m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{ ， ， ， ，…， ， }，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A3={ ， ， ， ， }，B3={ ， ， ， ， }．

最后，集合C═{ |m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9}中的数的分母都是无理数，

它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．

综上可得，n的最大值为14

【解析】（1）对于集合P7 ， 有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．