题目内容
【题目】已知函数,(
为常数).
(1)当时,判断
在
的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求
的取值范围;
(3)讨论零点的个数.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)利用函数的单调性的定义,即可证得函数的单调性,得到结论;
(2)由得
,转化为
,设
,利用二次函数的性质,即可求解.
(3)把函数有
个零点转化为方程
有两个解,令
,作
的图像及直线
图像,结合图象,即可求解,得到答案.
(1)当时,且
时,
是单调递减的.
证明:设,则
又且
,
故当时,
在
上是单调递减的.
(2)由得
,变形为
,即
,
设,令
,则
,
由二次函数的性质,可得,所以
,解得
.
(3)由有
个零点可得
有两个解,
转化为方程有两个解,
令,作
的图像及直线
图像有两个交点,
由图像可得:
i)当或
,即
或
时,
有
个零点.
ii)当或
或
时,
由
个零点;
iii)当或
时,
有
个零点.
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