题目内容
【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.
给出下列四个结论:
①f(0)=0; ②f(x)为偶函数;
③f(x)为R上减函数; ④f(x)为R上增函数.
其中正确的结论是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】
根据题意,令y=x=0计算f(0)的值,判断①正确;
令y=﹣x,得出f(﹣x)=﹣f(x),f(x)是奇函数,判断②错误;
根据x>0,f(x)<0,x=0时f(x)=0,x<0时,f(x)>0,
判断f(x)为R上的减函数,③正确,④错误.
对于①,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,①正确;
对于②,令y=﹣x,则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x),f(x)是奇函数,②错误;
对于③,当x>0,f(x)<0,
令<
,f(
)﹣f(
)=f(
﹣
)<0,∴f(
)<f(
),
∴f(x)为R上的减函数,③正确;
对于④,f(x)为R上增函数,④错误.
综上,其中正确的结论是①③.
故选:A.
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