Question

【题目】在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

（参考数据：若，则；；）

Answer 1

【答案】（1）10000；（2）80

【解析】分析： （1）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上（含90分）的学生有13名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的0.0013，列出比例式，得到参赛的总人数．

（2）设受奖的学生的分数线为x0．由P（X≥x0）= =0.0228<0.5，可得x0>60．进一步得知P（120-x0<X<x0）=1-2P（X≥x0）=0.9544，即可得x0=60+20=80，故受奖学生的分数线是80．

详解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．

则μ＝60，σ＝10.

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝ [1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3

∴学生总数为：＝10 000(人)．

(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x.

则P(X≥x0)＝0.022 8.

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．

点晴：正态分布问题，注意三个关键点：

（1）对称轴 ；②标准差 ；③分布区间。利用对称性求制定区间范围内的概率值。