题目内容
【题目】如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，
，
，且
，A为BE的中点
将
沿AD折到
位置
如图
，连结PC，PB构成一个四棱锥
．
Ⅰ
求证
；
Ⅱ若
平面ABCD．
求二面角
的大小；
在棱PC上存在点M，满足
，使得直线AM与平面PBC所成的角为
，求
的值．
【答案】
Ⅰ
详见解析；Ⅱ①
，②
或
．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出
平面PAB，这样就可以证明出
；
Ⅱ
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为
、平面PCD的法向量
，利用空间向量的数量积，求出二面角
的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出
的值.
证明：Ⅰ在图1中，
，
，
为平行四边形，
，
，
，
当
沿AD折起时，
，
，即，
，
又
，
平面PAB，
又
平面PAB，
．
解：Ⅱ
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于
平面ABCD
则
0，
，
0，，
1，，
0，
，
1，
1，
，
1，，
0，，
设平面PBC的法向量为
y，
，
则
，取
，得
0，，
设平面PCD的法向量
b，
，
则
，取
，得
1，，
设二面角的大小为
，可知为钝角，
则
，
．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为
，
0，
，1，
，，
，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为
，
，
解得或．
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小时的
名大学生，将人使用手机的时间分成
组：
，
，
，
，
分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时 |
|
|
|
|
|
大学生/人 |
|
|
|
|
|
（1）完成频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
