题目内容
2.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+y2=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y2=1有共同的焦点F1、F2,点P是它们的一个公共点,则△PF1F2的面积是( )A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
分析 利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式,即可得出三角形的面积.
解答 解:如图所示,不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上,设|PF1|=s,|PF2|=t.
由双曲线和椭圆的定义可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=2\sqrt{m}}\\{s-t=2a}\end{array}\right.$,
解得s2+t2=2m+2a2,st=m-a2.
在△PF1F2中,cos∠F1PF2=$\frac{2m+2{a}^{2}-4(m-1)}{2m-2{a}^{2}}$
∵m-1=a2+1,
∴m-a2=2,
∴cos∠F1PF2=0,∴∠F1PF2=90°.
∴△F1PF2面积为$\frac{1}{2}$st=1.
故选:A.
点评 本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力.熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键.
练习册系列答案
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 4 | D. | $\sqrt{2}$ |