Question

17．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{x+2}$，x∈[3，5]
（1）判断函数f（x）的单调性并用定义证明你的结论．
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先将原函数变成f（x）=$1-\frac{3}{x+2}$，由该解析式即可看出f（x）在[3，5]上为增函数，利用增函数的定义：任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）由f（x）在[3，5]上为增函数，从而便得出函数f（x）的最大值为f（5），最小值为f（3），这就求出了f（x）的最大值及最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$，可看出f（x）在[3，5]上递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3}{{x}_{2}+2}-\frac{3}{{x}_{1}+2}$=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{2}+2）（{x}_{1}+2）}$；
∵x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在x∈[3，5]上为增函数；
（2）由（1）知，当x=3时，函数f（x）取得最小值为f（3）=$\frac{2}{5}$；
当x=5时，函数f（x）取得最大值为f（5）=$\frac{4}{7}$．

点评 考查分离常数法的应用，掌握利用增函数的定义证明函数f（x）为增函数的方法及其过程，在比较f（x₁）与f（x₂）的大小时通常利用作差法，以及单调函数在闭区间上的最值的求法．