题目内容
【题目】已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线
的顶点,直线
与椭圆
交于
、
两点,且
,点
是椭圆
上异于
、
的任意一点,直线
外的点
满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)试确定点的坐标,使得
的面积最大,并求出最大面积.
【答案】(1)点的轨迹是椭圆
除去四个点
,
,
,
,其方程为
(
,
);(2)
,点
的坐标为
或
.
【解析】试题分析:(1)由已知双曲线的顶点可得椭圆焦点,再由椭圆过定点可解得参数的值,得到椭圆方程;由已知条件设出点
的坐标,再由已知向量积为零可得两坐标值的关系,再由点
在椭圆上,分析可得点
的轨迹方程;
(3)由点到直线距离可得三角形面积表达式,由均值不等式可得面积最大值及此时点坐标。
试题解析:
(1)由的焦点为
的顶点,得
的焦点
,
.
令的方程为
,因为
在
上,所以
.
于是由解得
,
,所以
的方程为
.
由直线与椭圆
交于
、
两点,知
、
关于原点对称,所以
.
令点,
,则
,
,
,
.
于是由,
,得
即
两式相乘得.
又因为点在
上,所以
,即
,
代入中,得
.
当时,得
;
当时,则点
或
,此时
或
,也满足方程
.
若点与点
重合,即
时,由
解得
或
.
若点与点
重合时,同理可得
或
.
综上,点的轨迹是椭圆
除去四个点
,
,
,
,其方程为
(
,
).
(2)因为点到直线
的距离
,
,
所以的面积
.
当且仅当,即
或
,
此时点的坐标为
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目