题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，并且经过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为
的直线
经过点
，且与椭圆交于不同的两点
,求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由椭圆的两个焦点坐标分别是
，即椭圆的焦半径
，并且经过点
，所以根据椭圆的定义求得椭圆的长半轴
，再根据
即可求出椭圆的短半轴
的值.从而得到椭圆的标准方程.
（2）假设过点
的直线，联立方程，韦达定理以及弦长公式表示出弦长.再用点到直线的距离，即可得到高.再通过换元求得最值.
试题解析：（1）设椭圆的标准方程为
，有椭圆的定义可得
又
故椭圆的标准方程为
4分.
（2）设直线
的方程为
，
由
得
，依题意
，
6分
设
，
则
， 7分
， 8分
由点到直线的距离公式得
， 9分
10分
设
，
当且仅当
时，上式取等号，
所以， 
面积的最大值为
12分
【题目】4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？
（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列、数学期望
和方差
．
附： 
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】“累积净化量
”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示，根据
《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量有如下等级划分：
累积净化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等级 |
|
|
|
|
为了了解一批空气净化器（共5000台）的质量，随机抽取
台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间
中，按照
、
、
、
、
均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了频率分布直方图，如图所示：
（1）求的值及频率分布直方图中
的值；
（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共5000台）中等级为
的空气净化器有多少台？
（3）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为的概率.
