题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,
,
,已知
是以
为底边,且边
平行于
轴的等腰三角形.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知直线交
轴于点
,且与曲线
相切于点
,点
在曲线
上,且直线
轴,点
关于点
的对称点为点
,试判断点
、
、
三点是否共线,并说明理由.
【答案】(1);(2)
、
、
三点共线,理由见解析.
【解析】
(1)设动点,由
轴可得
,由题意可得出
,由此可得出关于
、
的等式,化简可得出轨迹
的方程,由点
为坐标原点时,
、
、
三点共线可得出
,由此可得出轨迹
的方程;
(2)可知直线的斜率存在且不为零,设直线
的方程为
,将直线
的方程与曲线
的方程联立,由
得出
,求出
、
的坐标,利用直线
、
的斜率相等可得出
、
、
三点共线.
(1)设动点,因为
轴,所以
与直线
垂直,则
,
是以
为底边的等腰直角三角形,故
,
即,即
,化简得
.
因为当点为坐标原点时,
、
、
三点共线,无法构成三角形,
因此,动点的轨迹
的方程为
;
(2)、
、
三点共线,理由如下:
因为直线与曲线
相切,所以直线
的斜率必存在且不为零,设直线
的方程为
,
由,消
得
,
,得
.
所以,直线的方程为
,
令,得
,则点
,
,故
,
又由,得
,则点
,
,
,
,
因此,、
、
三点共线.
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