题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)又题意知,,及即可求得,从而得椭圆方程.
(2)分三种情况:直线斜率不存在时,的斜率为0时,的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.
(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,,
∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
又,解得.
∴椭圆的方程为
(2)由(1)可知圆的方程为,
(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,
此时
(ii)当直线的斜率为零时,.
(iii)当直线的斜率存在且不等于零时,设直线的方程为,
联立,得,
设的横坐标分别为,则.
所以,
(注:的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)
由可得直线的方程为,联立椭圆的方程消去,
得
设的横坐标为,则.
.
综上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范围是.
练习册系列答案
相关题目