题目内容
【题目】设函数.
(Ⅰ)若当时
取得极值,求a的值及
的单调区间;
(Ⅱ)若存在两个极值点
,
,证明:
.
【答案】(Ⅰ).单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)见解析
【解析】
(1)求导数,由题意可知
为方程
的根,求解
值,再令导数
,
,分别求解单调增区间与单调减区间,即可.
(2)函数存在两个极值点,等价于方程
即
在
上有两个不等实根,则
,即可,再将
变形整理为
;若证明不等式
,则需证明
,由
变形为
,不妨设
,即证
,令
,则
,求函数
的取值范围,即可证明.
(Ⅰ)
∵时,
取得极值,
∴,
.
∴
由得
或
,
由得
∴的单调增区间为
和
,单调减区间为
.
(Ⅱ)
∵存在两个极值点,
∴方程即
在
上有两个不等实根
∴且
,
∴所证不等式等价于
即变形为
不妨设,即变形为
令,
变形为
,
令
则,
∴在
上递增.
∴,
∴成立,
∴成立.
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