题目内容
【题目】椭圆的离心率为
,左焦点
到直线
的距离为10,圆
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上任意一点,
为圆
的任一直径,求
的取值范围;
(3)是否存在以椭圆上点为圆心的圆
,使得过圆
上任意一点
作圆
的切线,切点为
,都满足
?若存在,求出圆
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在;圆
的方程
【解析】
(1)根据题意得到关于的方程组,进而确定椭圆方程;
(2)设,根据平面向量基本定理以及向量的数量积可得
,结合椭圆上点的满足
以及
的取值范围求解;
(3)设圆,由于
,则
,两圆联立得
对圆
上任意点
恒成立,即可求得
和
,求得圆
的方程.
(1)由左焦点到直线
的距离为10得
,
又因为,所以
,
所以椭圆的方程为.
(2)设,因为点
在椭圆上,所以
.
,
因为,所以
,
即的取值范围是
.
(3)设圆,其中
,
则.
由于,则
,
即,
代入,
得对圆
上任意一点
恒成立.
则即
经检验,满足,故存在符合条件的圆,它的方程是
.

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