题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,,,.以,为邻边作平行四边形,连接和.
(1)求证:平面;
(2)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
(1)根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)先根据图形建立空间直角坐标系,设出点的坐标,根据两平面垂直得到二面角的平面角为,再分别算出两平面的法向量,使两个法向量的夹角的余弦值为0,即可求解.
解:(1)
证明:如图所示:连接,
∵四边形为平行四边形,
∴,
又,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又平面,
平面,
∴平面.
(2)假设存在点,使平面与平面垂直,
则平面与平面的二面角为直二面角,
设平面与平面的二面角的平面角为,则,
如图所示:以为坐标原点,分别以射线,,为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系,
∵,,,
∴,,,,
∵点在上,∴设点,
∴,,,
分别设平面和平面的法向量为,,
则 ,,
即,,
∴取,,
则,
∴,即,∴,
即,∴.
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