题目内容

【题目】如图,直三棱柱中,.为邻边作平行四边形,连接.

1)求证:平面

2)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2)存在,

【解析】

(1)根据线面平行的判定定理即可证明;

2)先根据图形建立空间直角坐标系,设出点的坐标,根据两平面垂直得到二面角的平面角为,再分别算出两平面的法向量,使两个法向量的夹角的余弦值为0,即可求解.

解:(1

证明:如图所示:连接

∵四边形为平行四边形,

∴四边形为平行四边形,

平面

平面

平面.

(2)假设存在点,使平面与平面垂直,

则平面与平面的二面角为直二面角,

设平面与平面的二面角的平面角为,则

如图所示:以为坐标原点,分别以射线轴的正方向,建立空间直角坐标系

∵点上,∴设点

分别设平面和平面的法向量为

∴取

,即,∴

,∴.

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