题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
.以
,
为邻边作平行四边形
,连接
和
.
(1)求证:平面
;
(2)线段上是否存在点
,使平面
与平面
垂直?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
(1)根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)先根据图形建立空间直角坐标系,设出点的坐标,根据两平面垂直得到二面角的平面角为
,再分别算出两平面的法向量,使两个法向量的夹角的余弦值为0,即可求解.
解:(1)
证明:如图所示:连接,
∵四边形为平行四边形,
∴,
又,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)假设存在点,使平面
与平面
垂直,
则平面与平面
的二面角为直二面角,
设平面与平面
的二面角的平面角为
,则
,
如图所示:以为坐标原点,分别以射线
,
,
为
,
,
轴的正方向,建立空间直角坐标系,
∵,
,
,
∴,
,
,
,
∵点在
上,∴设点
,
∴,
,
,
分别设平面和平面
的法向量为
,
,
则 ,
,
即,
,
∴取,
,
则,
∴,即
,∴
,
即,∴
.
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