Question

【题目】在△ABC中，B=60°，AC= ，则AB+2BC的最大值为 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理
cosB=
所以a2+c2﹣ac=b2=3
设c+2a=m
代入上式得
7a2﹣5am+m2﹣3=0
△=84﹣3m2≥0 故m≤2
当m=2 时，此时a= ，c= 符合题意
因此最大值为2
另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有
= = = =2，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA
=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
= cosA+5sinA
=2 sin（A+φ），（其中sinφ= ，cosφ= ）
所以AB+2BC的最大值为2 ．
所以答案是：2