题目内容
【题目】已知.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,的图像与轴围成的封闭图形面积为,求的最小值.
【答案】(1)a≤-1(2)4+8.
【解析】
(1)由绝对值三角不等式求的最小值即可求解;(2)去绝对值化简f(x),得到与轴围成的封闭图形为等腰梯形,再利用梯形面积公式及基本不等式求解即可
(1)因为|ax+1|+|ax-1|≥|(ax+1)-(ax-1)|=2,
等号当且仅当(ax+1)(ax-1)≤0时成立,
所以f(x)的最小值为2-2a-4=-2a-2.
依题意可得,-2a-2≥0,
所以a≤-1.
(2)因为a>0,f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,
所以f(x)=
所以y=f(x)的图像与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD,如图所示
且顶点为A(-1-,0),B(1+,0),C(,-2a-2),D(-,-2a-2)
从而S=2(1+)(a+1)=2(a+)+8.
因为a+≥2,等号当且仅当a=时成立,
所以当a=时,S取得最小值4+8.
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