题目内容
【题目】如图,四边形是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分别为
,
,
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点
,使直线
与直线
所成的角为
?若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】试题分析: 建立平面直角坐标系,由
,
,
证得
平面
建立空间直角坐标系,根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补,由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小;
⑶假设存在点,由共线向量基本定理得到
点的坐标,其中含有一个未知量,然后利用直线
与直线
所成角为
转化为两向量所成的角为
,由两向量的夹角公式求出
点的坐标,得到的
点的坐标符合题意,说明假设成立,最后得到结论。
解析:(1)∵平面
,
,∴
平面
,
∴,
,又四边形
是正方形,
∴,故
,
,
两两垂直,
如图,建立空间直角坐标系,∵,
∴,
,
,
,
,
,
∵,
,
分别为
,
,
的中点,
∴,
,
,
,平面
的一个法向量为
,
又∵,
∴,又∵
平面
,∴
平面
.
(2),
,
设为平面
的一个法向量,
则,即
,取
,得
,
,
,
设为平面
的一个法向量,则
,
即,取
得
,
∴
,
∴平面与平面
所成锐二面角的大小为
.
(3)假设在线段上存在一点
,使直线
与直线
所成角为
,
设,其中
,由
,则
,
又∵,
,∴
,
∵直线与直线
所成角为
,
,
∴,即
,解得
,
∴,
,
∴在线段上存在一点
,使直线
与直线
所成角为
,此时
.
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