题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且经过点
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在经过点的直线
,它与椭圆
相交于
两个不同点,且满足
为坐标原点)关系的点
也在椭圆
上,如果存在,求出直线
的方程;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) ; (2)存在,
【解析】
(1)根据椭圆离心率为,得
,将点
代入椭圆方程,即可求解;
(2)分类讨论当斜率不存在时和斜率存在时直线是否满足题意,联立直线和椭圆的方程,结合韦达定理用点的坐标代入运算即可求解.
解:(1)由椭圆的离心率为,得
,再由点
在椭圆上,得
解得
,所以椭圆
的方程为
.
(2)因为点在椭圆内部,经过点
的直线
与椭圆恒有两个交点,假设直线
存在,
当斜率不存在时,经过点的直线
的方程
,与椭圆交点坐标为
或
,
当时,
,
所以,
,
点不在椭圆上;
当时,
,
同上可得:不在椭圆上,
所以直线不合题意;
当斜率存在时:设
,
设,由韦达定理得
因为点在椭圆
上,因此得
,
由,
由于点也在椭圆
上,则
,整理得,
,即
所以
因此直线的方程为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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