Question

【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]

【解析】

（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；

（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。

（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，

解得1＜x＜3；

若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．

∵p∧q为真命题，则p真且q真，

∴实数x的取值范围是（2，3）

（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a

设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}

∵p是q的必要不充分条件，∴BA．

∴，解得1≤a≤2

∴实数a的取值范围是[1，2]