Question

已知圆C：(x－4)²＋(y－m)²＝16(m∈N^*)，直线4x－3y－16＝0过椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，且被圆C所截得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上．
(1)求m的值及椭圆E的方程；
(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．

Answer 1

（1）m＝4  ＋＝1
（2）[－12,0]

(1)因为直线4x－3y－16＝0被圆C所截得的弦长为，所以圆心C(4，m)到直线4x－3y－16＝0的距离为＝，
即＝，解得m＝4或m＝－4(舍去)．
又直线4x－3y－16＝0过椭圆E的右焦点，所以椭圆E的右焦点F₂的坐标为(4,0)，则其左焦点F₁的坐标为(－4,0)．
因为椭圆E过A点，所以|AF₁|＋|AF₂|＝2a，
所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a²＝18，b²＝2，
故椭圆E的方程为＋＝1．
(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，设Q(x，y)，则＝(x－3，y－1)，则·＝x＋3y－6．令x＋3y＝n，
则由，消去x得18y²－6ny＋n²－18＝0．
因为直线x＋3y＝n与椭圆E有公共点，
所以Δ＝(－6n)²－4×18×(n²－18)≥0，
解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范围为[－12,0]．