Question

知抛物线C：y²=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

Answer 1

P点轨迹方程为y²=x－1(x＞1)

【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
由抛物线y²=4x,得焦点F(1,0),准线 x=－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),
椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,
∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),
化简得P点轨迹方程为y²=x－1(x＞1)。
[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化