题目内容
19.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}-1(x≤0)}\\{\sqrt{x}(x>0)}\end{array}\right.$,若函数g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x-b有三个零点,则实数b的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$).分析 由题意可转化为函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{-x}-1(x≤0)\\ \sqrt{x}(x>0)\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象有且仅有两个交点,从而作图求解即可
解答 解:∵函数g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x-b有且仅有两个零点,
∴函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{-x}-1(x≤0)\\ \sqrt{x}(x>0)\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象有且仅有两个交点,
作函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{-x}-1(x≤0)\\ \sqrt{x}(x>0)\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象如下,
当b=0时,有一个交点,是一个临界值,
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与f(x)=$\sqrt{x}$相切时,
f′(x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=$\frac{1}{2}$;
故切点为(1,1);
故b=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$;
结合图象可得,
b∈(0,$\frac{1}{2}$);
故答案为:(0,$\frac{1}{2}$)
点评 本题考查了导数的应用,函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等,同时考查了数形结合的思想应用,属于中档题
练习册系列答案
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