Question

9．若函数f（x）=x²-e^x-ax在R上存在单调递增区间，则实数a的最大值为2ln2-2．

Answer 1

分析 根据题意可得a＜2x-e^x有解，转化为g（x）=2x-e^x，a＜g（x）_max，利用导数求出最值即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²-e^x-ax，
∴f′（x）=2x-e^x-a，
∵函数f（x）=x²-e^x-ax在R上存在单调递增区间，
∴f′（x）=2x-e^x-a≥0，
即a≤2x-e^x有解，
令g′（x）=2-e^x，
g′（x）=2-e^x=0，x=ln2，
g′（x）=2-e^x＞0，x＜ln2，
g′（x）=2-e^x＜0，x＞ln2
∴当x=ln2时，g（x）_max=2ln2-2，
∴a≤2ln2-2即可．
故答案为：2ln2-2．

点评 本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．