Question

7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）相切，求实数a的值；
（2）设a≥0，若对?x₁、x₂∈（0，$\frac{1}{2}$），且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，求实数a的取值范围；
（3）若存在不相等的实数x₁，x₂，x₃，使得$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{i}）=-{x}_{i}^{2}+b}\\{{g}^{'}（{x}_{i}）=0}\end{array}\right.$（i=1，2，3）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，再设与g（x）相切的切点为（m，n），求得g（x）的导数，列出方程，即可解得a=0；
（2）不妨设x₁＞x₂，由f（x），g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，化简原不等式可得f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），可设h（x）=f（x）-g（x），由题意可得h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，求出h（x）的导数，运用导数大于0，结合参数分离求得a的范围．
（3）问题转化为：关于x的方程-$\frac{2}{3}$x³+x²=$\frac{1}{3}$+b有3个不相等的实数根，画出图象，得到关于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，
切点为（1，0），则切线方程为y=x-1，
设与g（x）相切的切点为（m，n），则g′（x）=x²+a，
由m²+a=1，m-1=$\frac{1}{3}$m³+am-$\frac{1}{3}$，
解得m=1，a=0；
（2）不妨设x₁＞x₂，由f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
可得f（x₁）＞f（x₂），
再由g′（x）=x²+a，（a≥0），g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
则|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|即为
f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），
即有f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
可设h（x）=f（x）-g（x），
由题意可得h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-x²-a≥0在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
即有a≤$\frac{1}{x}$-x²的最小值，
由$\frac{1}{x}$-x²在（0，$\frac{1}{2}$）递减，可得$\frac{1}{x}$-x²＞2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$．
即有0≤a≤$\frac{7}{4}$．
则a的取值范围是[0，$\frac{7}{4}$]．
（3）由g（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$=-x²+b，得：$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$+x²-b=0①，
由g′（x）=x²+a=0，得：a=-x²，②，
②代入①得：-$\frac{2}{3}$x³+x²=$\frac{1}{3}$+b③，
若存在不相等的实数x₁，x₂，x₃，使得$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{i}）=-{x}_{i}^{2}+b}\\{{g}^{'}（{x}_{i}）=0}\end{array}\right.$（i=1，2，3）成立，
等价于关于x的方程③有3个不相等的实数根，
令m（x）=-$\frac{2}{3}$x³+x²，n（x）=$\frac{1}{3}$+b，
问题等价于m（x），n（x）有3个不同的交点，
而m′（x）=-2x²+2x=-2x（x-1），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，
∴m（x）在（-∞，0）递减，在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
m（0）=0，m（$\frac{3}{2}$）=0，m（1）=$\frac{1}{3}$+b，
画出函数m（x）的图象，如图示：
，
由图象得：若m（x）与n（x）有3个交点，只需0＜$\frac{1}{3}$+b＜$\frac{1}{3}$，
解得：-$\frac{1}{3}$＜b＜0，
故b的范围是（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，运用单调性解决．