题目内容
已知,点A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若,求函数的单调递增区间;
(II)若函数的导函数满足:当|x|≤1时,有||≤恒成立,求函数的解析表达式;
(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值,且,证明:与不可能垂直.
(I) 若,求函数的单调递增区间;
(II)若函数的导函数满足:当|x|≤1时,有||≤恒成立,求函数的解析表达式;
(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值,且,证明:与不可能垂直.
(I) f(x)的增区间是(-∞,)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) f(x)=x3x. ……………………9分
(III) 证明见解析
(II) f(x)=x3x. ……………………9分
(III) 证明见解析
(I) f(x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,
因为f(x)单调递增,
所以(x)≥0,
即 3x2-4x+1≥0,
解得,x≥1, 或x≤,……………………………2分
故f(x)的增区间是(-∞,)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1,1]时,恒有|(x)|≤.………………………4分
故有≤(1)≤,
≤(-1)≤,
≤(0)≤,………………………5
即 ………6
①+②,得
≤ab≤,……………………………8分
又由③,得
ab=,
将上式代回①和②,得
a+b=0,
故f(x)=x3x. ……………………9分
(III) 假设⊥,
即= =" st+f(s)f(t)=0," ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]="-1," ……………………………………11分
由s,t为(x)=0的两根可得,
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2="9." ……………………………………12分
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
= +4ab≥2=12,
即 a+b≥2,
这样与a+b<2矛盾. ……………………13分
故与不可能垂直.
因为f(x)单调递增,
所以(x)≥0,
即 3x2-4x+1≥0,
解得,x≥1, 或x≤,……………………………2分
故f(x)的增区间是(-∞,)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1,1]时,恒有|(x)|≤.………………………4分
故有≤(1)≤,
≤(-1)≤,
≤(0)≤,………………………5
即 ………6
①+②,得
≤ab≤,……………………………8分
又由③,得
ab=,
将上式代回①和②,得
a+b=0,
故f(x)=x3x. ……………………9分
(III) 假设⊥,
即= =" st+f(s)f(t)=0," ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]="-1," ……………………………………11分
由s,t为(x)=0的两根可得,
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2="9." ……………………………………12分
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
= +4ab≥2=12,
即 a+b≥2,
这样与a+b<2矛盾. ……………………13分
故与不可能垂直.
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