题目内容
( 14分)已知函数,,其中为无理数.(1)若,求证:;(2)若在其定义域内是单调函数,求的取值范围;(3)对于区间(1,2)中的任意常数,是否存在使成立?
若存在,求出符合条件的一个;否则,说明理由.
若存在,求出符合条件的一个;否则,说明理由.
(Ⅰ)略 (Ⅱ) (Ⅲ)不存在
:(Ⅰ)证明:当时,.令,则.
若,递增;若,递减,
则是的极(最)大值点.于是
,即.故当时,有.
(Ⅱ)解:对求导,得.
①若,,则在上单调递减,故合题意.
②若,.
则必须,故当时,在上单调递增.
③若,的对称轴,则必须,
故当时,在上单调递减.
综合上述,的取值范围是.
(Ⅲ)解:令.则问题等价于
找一个使成立,故只需满足函数的最小值即可.
因,
而,
故当时,,递减;当时,,递增.
于是,.与上述要求相矛盾,故不存在符合条件的.
若,递增;若,递减,
则是的极(最)大值点.于是
,即.故当时,有.
(Ⅱ)解:对求导,得.
①若,,则在上单调递减,故合题意.
②若,.
则必须,故当时,在上单调递增.
③若,的对称轴,则必须,
故当时,在上单调递减.
综合上述,的取值范围是.
(Ⅲ)解:令.则问题等价于
找一个使成立,故只需满足函数的最小值即可.
因,
而,
故当时,,递减;当时,,递增.
于是,.与上述要求相矛盾,故不存在符合条件的.
练习册系列答案
相关题目