题目内容

( 14分)已知函数,其中为无理数.(1)若,求证:;(2)若在其定义域内是单调函数,求的取值范围;(3)对于区间(1,2)中的任意常数,是否存在使成立?
若存在,求出符合条件的一个;否则,说明理由.
(Ⅰ)略   (Ⅱ)   (Ⅲ)不存在
:(Ⅰ)证明:当时,.令,则
递增;若递减,
的极(最)大值点.于是
,即.故当时,有
(Ⅱ)解:对求导,得
①若,则上单调递减,故合题意.
②若
则必须,故当时,上单调递增.
③若的对称轴,则必须
故当时,上单调递减.
综合上述,的取值范围是
(Ⅲ)解:令.则问题等价于
找一个使成立,故只需满足函数的最小值即可.


故当时,递减;当时,递增.
于是,.与上述要求相矛盾,故不存在符合条件的
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