题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，
的顶点
，
，且
、
、
成等差数列.
（1）求的顶点
的轨迹方程；
（2）直线
与顶点的轨迹交于
两点，当线段
的中点
落在直线
上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）恒过定点；定点
【解析】
（1）由正弦定理，结合椭圆定义，即可容易求得轨迹方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得中点
的坐标，根据其纵坐标为
，即可求得
的等量关系，再求出直线
垂直平分线的方程，再求直线恒过的定点即可.
（1）在
中，
，
根据正弦定理，可得
，且
，
由椭圆定义，可知顶点
的轨迹为中心在原点，
以
为焦点的椭圆（不包括与
轴交点）.
，
，
，
轨迹方程为.
（2）设
，
，
由
，得
，
，
，
，
点落在直线
上，
，
，
，
，
线段
的垂直平分线方程为
，即
，
线段的垂直平分线恒过定点.
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