题目内容
【题目】设数列(任意项都不为零)的前
项和为
,首项为
,对于任意
,满足
.
(1)数列的通项公式;
(2)是否存在使得
成等比数列,且
成等差数列?若存在,试求
的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列,
,若由
的前
项依次构成的数列是单调递增数列,求正整数
的最大值.
【答案】(1);(2)存在,
;(3)
【解析】
(1)代入求得
,利用
可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列,由此得到
和
,进而得到
;
(2)假设存在满足题意,利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组,得到
,由
可求得
的范围,结合
得到
,进而求出
;
(3)将问题转化为当为偶数时,
,构造函数
和
,可利用导数说明
与
的单调性,进而确定
的取值,同时得到
的范围,从而求得结果.
(1)数列
是非零数列,
.
当时,
,
;
当且
时,
,
,
是首项为
,公差为
的等差数列,
是首项为
,公差为
的等差数列,
,
,
.
(2)设存在,满足题意,
成等比数列,
;
成等差数列,
,
消去可得:
,
,
,
,
,解得:
,
,
,
,
,
.
(3)若是单调递增数列,则
为偶数时,
恒成立,
两边取自然对数化简可得:,显然
,
设,则
,
当
时,
;当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
在
处取得极大值,
当
时,
是递减数列,又
,
是
的最大值,
;
设,则
,
是递减数列,当
时,
,当
时,
,
当
时,存在
,使得
恒成立;
当时,
不成立,
至多前
项是递增数列,即正整数
的最大值是
.
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