题目内容
【题目】如图，已知椭圆C：
的左、右顶点分别为
右焦点为
，右准线l的方程为
，过焦点F的直线与椭圆C相交于点A，B（不与点重合）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线AB的倾斜角为45°时，求弦AB的长；
（3）设直线
交l于点M，求证：B，
，M三点共线.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
（1）由题意结合椭圆性质可得
、
，即可得解；
（2）由题意直线
，设
，
，联立方程组可得
，
，再利用弦长公式即可得解；
（3）设直线
，，，易得
，转化结论为证明
成立，联立方程组即可得
，
，进而可得
，即可得证.
（1）设椭圆C的焦距为2c．由题意得．
又右准线l的方程为
，所以，
所以
，
，
所以椭圆
的标准方程为，
（2）设，，
因为直线
的倾斜角为
且过点
，
所以直线，
联立
，消去
得
，
，
所以，，
所以
；
（3）由题意可得
，
，
因为直线AB的斜率不为0，
所以设直线，，，
则直线
，令，得
，所以；
要证
，
，
三点共线，只需证
，
即证
，即证；
联立
，消去x得
，，
所以，，
所以，
所以，，三点共线．
【题目】已知椭圆
、抛物线
的焦点均在
轴上，的中心和的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
| 3 |
| 4 |
|
|
| 0 |
|
|
（Ⅰ）求
的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线
满足条件：①过的焦点
；②与交不同两点
且满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【题目】跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会，是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动，跨年晚会首次出现在港台地区，跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同，如央视启航2020跨年盛典，湖南卫视跨年演唱会，东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度，现分别随机选出
名观众对迎新晚会的质量评估评分，最高分为分，综合得分情况如下表所示：
综合得分 |
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|
观众人数 | 5 | 10 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 |
根据表中的数据，回答下列问题：
（1）根据表中的数据，绘制这位观众打分的频率分布直方图；
（2）已知观众的评分
近似服从
，其中
是反应随机变量取值的平均水平的特征数，工作人员在分析数据时发现，可用位观众评分的平均数估计，但由于评分观众人数较少，误差较大，所以不能直接用位观众评分的标准差的值估计
，而在这位观众打分的频率分布直方图的基础上依据
来估计更科学合理，试求和的估计值（的结果精确到小数点后两位）.
【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 |
|
|
|
|
频数 | 6 | a | 24 | b |
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为
，求的数学期望
.
