题目内容
【题目】如图,已知椭圆C:的左、右顶点分别为
右焦点为
,右准线l的方程为
,过焦点F的直线与椭圆C相交于点A,B(不与点
重合).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当直线AB的倾斜角为45°时,求弦AB的长;
(3)设直线交l于点M,求证:B,
,M三点共线.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】
(1)由题意结合椭圆性质可得、
,即可得解;
(2)由题意直线,设
,
,联立方程组可得
,
,再利用弦长公式即可得解;
(3)设直线,
,
,易得
,转化结论为证明
成立,联立方程组即可得
,
,进而可得
,即可得证.
(1)设椭圆C的焦距为2c.由题意得.
又右准线l的方程为,所以
,
所以,
,
所以椭圆的标准方程为
,
(2)设,
,
因为直线的倾斜角为
且过点
,
所以直线,
联立,消去
得
,
,
所以,
,
所以;
(3)由题意可得,
,
因为直线AB的斜率不为0,
所以设直线,
,
,
则直线,令
,得
,所以
;
要证,
,
三点共线,只需证
,
即证,即证
;
联立,消去x得
,
,
所以,
,
所以,
所以,
,
三点共线.

【题目】已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 |
| 4 | ||
0 |
|
(Ⅰ)求的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线满足条件:①过
的焦点
;②与
交不同两点
且满足
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
【题目】跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会,是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动,跨年晚会首次出现在港台地区,跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同,如央视启航2020跨年盛典,湖南卫视跨年演唱会,东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度,现分别随机选出名观众对迎新晚会的质量评估评分,最高分为
分,综合得分情况如下表所示:
综合得分 | |||||||
观众人数 | 5 | 10 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 |
根据表中的数据,回答下列问题:
(1)根据表中的数据,绘制这位观众打分的频率分布直方图;
(2)已知观众的评分近似服从
,其中
是反应随机变量
取值的平均水平的特征数,工作人员在分析数据时发现,可用
位观众评分的平均数估计
,但由于评分观众人数较少,误差较大,所以不能直接用
位观众评分的标准差的值估计
,而在这
位观众打分的频率分布直方图的基础上依据
来估计
更科学合理,试求
和
的估计值(
的结果精确到小数点后两位).
【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的数学期望
.