题目内容
【题目】已知函数的极大值为
,其中
为自然对数的底数.
(1)求实数的值;
(2)若函数,对任意
,
恒成立.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(1)(2)(i)
(ii)证明见解析
【解析】
(1)求函数定义域,然后对函数求导,根据函数单调性,得出时,
有极大值,即可算出实数
的值.
(2)(i)由(1)知,,代入
中,根据
,整理至即
对
恒成立,设新函数
,将原问题转化为:
对
恒成立,分
的取值范围分类讨论即可得出实数
的取值范围.(ii)要证
,
转化为证证,整理至
,设两个新函数
,
,分别对两个新函数求导,判断单调性,即可证得
成立.
解:(1)的定义域为
,
,
令,解得:
,
令,解得:
,
所以当,
为增函数,当
,
为减函数,
所以时,
有极大值
,
所以;
(2)(i)由(1)知,,
则,即
对
恒成立,
所以对
恒成立,
即对
恒成立,
设,则
对
恒成立,
,
设,
,
原问题转化为:对
恒成立,
①若,当
时,
则,
不合题意;
②若,则
对
恒成立,
符合题意
③若,则
,
令,
,令
,
,
所以当时,
为减函数,
当时,
为增函数,
所以,
即,即
;
综上.
(ii)要证,
只需证,
即,即
,
只需证,
设,
,
因为
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以:
因为恒成立,
所以在
上单调递增,
所以,则
,则
,
由(2)可知,,所以
;
所以,
即,得证.
所以 成立.

【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的数学期望
.