题目内容
【题目】如图，已知
的两顶点坐标
，
，圆
是的内切圆，在边
，
，
上的切点分别为
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
为定值，并求出动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过
的斜率不为零直线交曲线于
、
两点，求证：
为定值．
【答案】（Ⅰ）证明详见解析，曲线
的方程为
；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
（Ⅰ）利用切线长相等可求得
；根据椭圆定义可知动点
的轨迹是以
，
为焦点，长轴长为
的椭圆（不含椭圆与
轴的交点），进而求得结果；
（Ⅱ）设
的方程为
，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得
，根据平面向量数量积运算求得
，进而求得
.
（Ⅰ）由题意得：
，
，
，
，
动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（不含椭圆与轴的交点），
设曲线方程为：
，
则
，解得：
，又
，
，
曲线的方程为
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：
，设
，
，
直线的斜率不为零，可设的方程为，
联立
消去并整理得：
，
则
，
，
，
，
，
，
，
综上可得：
为定值
．
【题目】已知椭圆
、抛物线
的焦点均在
轴上，的中心和的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
| 3 |
| 4 |
|
|
| 0 |
|
|
（Ⅰ）求
的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线
满足条件：①过的焦点
；②与交不同两点
且满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【题目】近年电子商务蓬勃发展，现从某电子商务平台评价系统中随机选出200次成功交易，并对其评价进行统计，统计结果显示：网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过0.10的前提下，能否认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？
对快递满意 | 对快递不满意 | 合计 | |
对商品满意 | 80 | ||
对商品不满意 | |||
合计 | 200 |
（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从200次交易中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.
附：
(其中
为样本容量)
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
