Question

7．在数列{a_n}中，已知a₁=a（a＞2），且a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$（n∈N^*）．
（1）用数学归纳法证明：a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）运用数学归纳法，注意步骤的完整性，当n=1时，检验成立，假设当n=k（k∈N^*），命题成立；证明当n=k+1也成立，注意运用假设；
（2）作差比较，即为a_n+1-a_n，化简整理，结合（1）的结论，即可得证．

解答 证明：（1）①当n=1时，a₁=a＞2，命题成立．
②假设当n=k（k∈N^*），命题成立，即a_k＞2．
则当n=k+1时，a_k+1-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{（{a}_{k}-2）^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，
所以当n=k+1时a_k+1＞2也成立，
由①②得，对任意自然数n，都有a_n＞2．
（2）a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$-a_n=$\frac{{a}_{n}（2-{a}_{n}）}{2（{a}_{n}-1）}$，
由（1）可知a_n＞2＞0，
即有a_n+1-a_n＜0，
即a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

点评 本题考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用和作差比较法的运用，属于中档题．