Question

2．在平面直角坐标系中，对于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），有下面四个结论：
（1）存在这样的点M，使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；（2）存在这样的点M，使得过M可以做两条直线与双曲线有且只有一个公共点；
（3）不存在这样的点M，使得过M可以做三条直线与双曲线有且只有一个公共点；
（4）存在这样的点M，使得过M可以做四条直线与双曲线有且只有一个公共点．
这四个结论中，所有正确的是（1），（2），（4）．

Answer 1

分析 对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：（1）平面上任意点M，使得过M的直线都可能与双曲线有且只有一个公共点，正确，故（1）正确；
（2）存在这样的点M，比如非原点，使得过M可以做两条直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个公共点，故正确；
（3）存在这样的点M，比如左顶点，使得过M可以做三条直线与双曲线有且只有一个公共点，两条与渐近线平行，一条与双曲线相切，故不正确；
（4）存在这样的点M，比如非顶点，使得过M可以做四条直线与双曲线有且只有一个公共点，两条与渐近线平行，两条与双曲线相切，不正确；
故答案为：（1），（2），（4）．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．