题目内容
【题目】已知复数z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且 .
(1)若复数z1对应的点M(m,n)在曲线 上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;
(2)将(1)中的轨迹上每一点按向量 方向平移
个单位,得到新的轨迹C,求C的轨迹方程;
(3)过轨迹C上任意一点A(异于顶点)作其切线,交y轴于点B,求证:以线段AB为直径的圆恒过一定点,并求出此定点的坐标.
【答案】
(1)解:∵ i﹣z2=(m﹣ni)i﹣(2+4i)=(n﹣2)+(m﹣4)i;
∴
.
∵复数z1对应的点M(m,n)在曲线 上运动
∴x+2=﹣ (y+7)2﹣1(y+7)2=﹣2(x+3).
复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程:(y+7)2=﹣2(x+3).
(2)解:∵按向量 方向平移
个单位,
=
=1×
.
即为向 x 方向移动 1× =
个单位,向 y 方向移动 1×1=1 个单位
(y+7)2=﹣2(x+3)y+7=± .
得轨迹方程 y+7=± (y+6)2=﹣2(x+
)=﹣2x﹣3.
C的轨迹方程为:(y+6)2=﹣2x﹣3.
(3)解:设A(x0,y0),斜率为k,切线y﹣y0=k(x﹣x0) (k≠0),
代入(y+6)2=﹣2x﹣3整理得:
(y+6)2=﹣2( )﹣3,△=0k=
,
设定点M(1,0),且 .
∴以线段AB为直径的圆恒过一定点M,M点的坐标(1,0).
【解析】(1)根据复数条件求出关系式 ,结合复数z1对应的点M(m,n)在曲线
上运动即可得出复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;(2)先按向量
方向平移
个单位得到即为向 x 方向移动 1×
=
个单位,向 y 方向移动 1×1=1 个单位,再进行函数式的变换即可得出C的轨迹方程;(3)设A(x0,y0),斜率为k,切线y﹣y0=k(x﹣x0) 代入(y+6)2=﹣2x﹣3消去x得到关于y的一元二次方程,再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点,从而解决问题.
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