题目内容
【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣ =0截得的弦长为2
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点A、B为动直线y=k(x﹣1),k≠0与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点M,使得 为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(I)圆x2+y2=a2的圆心(0,0)到直线x﹣y﹣ =0的距离d= =1,
∴2=2 ,解得a2=2,又 = ,a2=b2+c2,
联立解得:a2=2,c=1=b.
∴椭圆C的标准方程为: +y2=1.
(II)假设在x轴上存在定点M(m,0),使得 为定值.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ,化为:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
则x1+x2= ,x1x2= .
=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=(1+k2)x1x2﹣(m+k2)(x1+x2)+m2+k2
=(1+k2) ﹣(m+k2) +m2+k2
= ,
令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m= .
因此在x轴上存在定点M( ,0),使得 为定值
【解析】(I)求出圆x2+y2=a2/span>的圆心(0,0)到直线x﹣y﹣ =0的距离d,利用2=2 ,解得a2,又 = ,a2=b2+c2,联立解出即可得出.(II)假设在x轴上存在定点M(m,0),使得 为定值.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得 = ,令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m即可得出.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.